Διαβάζοντας τα «Μαθηματικά Χειρόγραφα» του Καρλ Μαρξ

Διαβάζοντας τα «Μαθηματικά Χειρόγραφα» του Καρλ Μαρξ

Στις 17 Μάρτη 1883, μέρα της ταφής του Καρλ
Μαρξ στο νεκροταφείο του Χάιγκέιτ στο Λονδίνο, ο φίλος και συνεργάτης του – ο
«δεύτερός του εαυτός» – Φρίντριχ Ένγκελς, τόνισε στην επικήδεια ομιλία του,
ανάμεσα στα άλλα που είπε: «Σε κάθε ξεχωριστό τομέα που ερεύνησε ο Μαρξ – και
ερεύνησε πάρα πολλούς τομείς και κανέναν απ’ αυτούς επιφανειακά – σε κάθε
τομέα, ακόμα και σε εκείνον των μαθηματικών, έκανε ανεξάρτητες ανακαλύψεις». Η
μελέτη των μαθηματικών από τον Μαρξ έγινε γνωστή από την αλληλογραφία του με
τον Ένγκελς, από αναφορές του τελευταίου στα έργα του

«Αντι-Ντίριγκ» κι

ΕΔΩ και «Διαλεκτική της Φύσης» και από διάφορες παρατηρήσεις του ίδιου
του Μαρξ στο βασικό του έργο, το

«Κεφάλαιο» και οι τρεις Τόμοι .Είναι γνωστό, επίσης ότι, αποσπάσματα
από το περιεχόμενο των «Μαθηματικών Χειρογράφων» πρωτοδημοσιεύθηκαν το 1933
στην ΕΣΣΔ, σαν αποτέλεσμα της εντολής του Λένιν, το 1921, να συγκεντρωθούν όλα
τα διαθέσιμα στο εξωτερικό χειρόγραφα του Μαρξ και του Ένγκελς.

Βήχος Παναγιώτης

Διαβάζοντας τα «Μαθηματικά Χειρόγραφα» του Καρλ Μαρξ

Στις 17 Μάρτη 1883, μέρα της
ταφής του Καρλ Μαρξ στο νεκροταφείο του Χάιγκέιτ στο Λονδίνο, ο φίλος και
συνεργάτης του – ο «δεύτερός του εαυτός» – Φρίντριχ Ένγκελς, τόνισε στην
επικήδεια ομιλία του, ανάμεσα στα άλλα που είπε: «Σε κάθε ξεχωριστό τομέα που
ερεύνησε ο Μαρξ – και ερεύνησε πάρα πολλούς τομείς και κανέναν απ’ αυτούς
επιφανειακά – σε κάθε τομέα, ακόμα και σε εκείνον των μαθηματικών, έκανε
ανεξάρτητες ανακαλύψεις».

Οι Εκδόσεις «Γλάρος» έχουν
κυκλοφορήσει στα Ελληνικά τα «Μαθηματικά Χειρόγραφα» του Καρλ Μαρξ. Το βιβλίο
αυτό κυκλοφόρησε για πρώτη φορά στα αγγλικά από τις εκδόσεις «Νιού Πάρκ» σαν
συλλογή από πρωτότυπες εργασίες του Μαρξ πάνω στα μαθηματικά. Απ’ όσο γνωρίζω
πολύ λίγη προσοχή έχει δοθεί σ’ αυτή την πλευρά της δραστηριότητας του ιδρυτή
της επιστημονικής κοσμοθεωρίας του διαλεκτικού υλισμού.

Η μελέτη των μαθηματικών από
τον Μαρξ έγινε γνωστή από την αλληλογραφία του με τον Ένγκελς, από αναφορές του
τελευταίου στα έργα του

«Αντι-Ντίριγκ» κι

ΕΔΩ και «Διαλεκτική της Φύσης» και από διάφορες παρατηρήσεις του ίδιου
του Μαρξ στο βασικό του έργο, το

«Κεφάλαιο» και οι τρεις Τόμοι .Είναι γνωστό, επίσης ότι, αποσπάσματα
από το περιεχόμενο των «Μαθηματικών Χειρογράφων» πρωτοδημοσιεύθηκαν το 1933 στην
ΕΣΣΔ, σαν αποτέλεσμα της εντολής του Λένιν, το 1921, να συγκεντρωθούν όλα τα
διαθέσιμα στο εξωτερικό χειρόγραφα του Μαρξ και του Ένγκελς.

Γνωρίζουμε ότι ο Μαρξ δεν
ήταν μαθηματικός. Το ενδιαφέρον του για τα μαθηματικά πήγαζε από την
αντιμετώπιση των προβλημάτων της πολιτικής οικονομίας, γρήγορα όμως
επικεντρώθηκε σε θεμελιακά ζητήματα μεθόδου της μαθηματικής επιστήμης. Είναι τα
ζητήματα που αποτελούν τον πυρήνα του βιβλίου του και που του δίνουν όλη τη
σημασία και επικαιρότητά του.

Την εποχή που ο Μαρξ
μελετούσε συστηματικά τα μαθηματικά, στη δεκαετία του 1870 ιδιαίτερα, γίνονταν
κοσμοϊστορικές εξελίξεις σ’ αυτή την επιστήμη. Εξελίξεις που βρίσκονται στα
θεμέλια της εντυπωσιακής ανάπτυξης των μαθηματικών στον 20^ο αιώνα,
όπως και των εφαρμογών τους στις άλλες φυσικές επιστήμες.

Στην Αγγλία, τον τόπο
διαμονής του στα τελευταία του χρόνια, την κοιτίδα του καπιταλισμού και τη χώρα
όπου πρωτοεμφανίστηκαν τα σπέρματα της επιστημονικής έρευνας της Φύσης, ο πιο
γέρικος και ολοκληρωμένος καπιταλισμός της Ευρώπης, στον προθάλαμο της
ιμπεριαλιστικής εποχής, είχε σταματήσει κάθε δημιουργική ανάπτυξη των
μαθηματικών, που παρέμεναν προσκολλημένα σε ξεπερασμένες αντιλήψεις της εποχής
του Νεύτωνα. Η πρωτοπορία σ’ αυτόν τον τομέα πέρασε αρχικά στη Γαλλία, ιδιαίτερα
με την ώθηση της Γαλλικής Επανάστασης και από τα μέσα του αιώνα και μετά στη
Γερμανία. Γι’ αυτό και η εργασία του Μαρξ έχει μια αρχαϊκή μορφή. Η σημασία της
όμως βρίσκεται στην ουσία του ζητήματος και στη σχέση αυτής της ουσίας με τη
μορφή. Οι ιστορικοί περιορισμοί έκαναν στον Μαρξ προσιτό το έργο παλιότερων
μαθηματικών, από την εποχή του Νεύτωνα και του Λάιμπνιτς ως τις αρχές του 19^ου
αιώνα. Η εποχή, όμως, αυτή ήταν μια περίοδος που τα μαθηματικά γνώρισαν μια
επανάσταση που μπορεί – κατά τη γνώμη μου – να συγκριθεί με την επανάσταση στη
Φυσική στις αρχές του 20^ου αιώνα. Και μπορεί κανείς να διακρίνει μια
αναλογία ανάμεσα στην πάλη του Λένιν, στο έργο του «Υλισμός και
Εμπειριοκριτικισμός», να αναπτύξει τον διαλεκτικό υλισμό σαν τη λογική και τη
θεωρία της γνώσης του μαρξισμού σ’ ένα διαφορετικό κοινωνικό πλαίσιο και μπροστά
σε διαφορετικά ιστορικά καθήκοντα, και στην αντιμετώπιση από τον Μαρξ των
θεωρητικών ζητημάτων που έβαζε η επανάσταση στα μαθηματικά και που διατηρούν όλη
τους την επικαιρότητα μέχρι σήμερα.

Η υπεράσπιση από τον Λένιν
της ουσίας του διαλεκτικού υλισμού, που αφορά την πρωταρχικότητα του
αντικειμενικού κόσμου της καθολικής ύλης σε κίνηση, σε σχέση με τη συνείδηση και
την αντανάκλασή της απ’ αυτήν, ενάντια σε εκείνους που την απόρριπταν στο όνομα
των αλλαγών στη μορφή του, που προσδιορίζεται ιστορικά και κοινωνικά από
το επίπεδο της επιστημονικής γνώσης για τη Φύση και την κοινωνία, ενσωματώνει
και ξεπερνάει όλο το προηγούμενο έργο του Μαρξ και του Ένγκελς! Τα «Μαθηματικά
Χειρόγραφα», συστατικό στοιχείο αυτού του έργου, έχουν σαν κύριο άξονά τους αυτό
ακριβώς το ζήτημα της σχέσης της ουσίας με τη μορφή του διαλεκτικού υλισμού.

Για να κατανοηθεί σωστά η
σημασία τους για την επαναστατική θεωρία και πράξη, πρέπει να επισημανθεί η
σχέση τους με την αντιμετώπιση του ίδιου του ζητήματος της επανάστασης στα
μαθηματικά από τον διαλεκτικό ιδεαλιστή φιλόσοφο Χέγκελ. Παρόλο που το όνομά του
δεν αναφέρεται καθόλου, η ανάγνωση του κειμένου κάνει φανερό ότι ο Μαρξ έχει
συνεχώς υπόψη του την μελέτη από τον Χέγκελ των ζητημάτων που τον απασχολούν,
ιδιαίτερα στο έργο του τελευταίου, «Η
Επιστήμη της Λογικής» . Κι

ΕΔΩ. Εκεί, ο Χέγκελ κάνει μια λεπτομερή εξέταση των τελευταίων
εξελίξεων στα μαθηματικά, στο φως της ανάπτυξης από μέρους του της διαλεκτικής
της μετάβασης από την ποσότητα στην ποιότητα. Και είναι οι ίδιες ανακαλύψεις, οι
ίδιοι ιστορικοί σταθμοί και οι ίδιοι επιστήμονες και οι θεωρίες τους, που
αποτελούν το αντικείμενο και των «Χειρόγραφων».

Η σχέση, όμως, της μεθόδου
του Μαρξ και της μεθόδου του Χέγκελ είναι μια σχέση ενότητας αντιθέτων. Η
ενότητά τους συνίσταται στη χρήση των ίδιων επιστημονικών εννοιών και κατηγοριών
της διαλεκτικής λογικής, ενώ η μαρξιστική μέθοδος είναι ταυτόχρονα το αντίθετο
της χεγκελιανής, είναι το υλιστικό αναποδογύρισμά της. Και το αναποδογύρισμα
αυτό αφορά τόσο την ουσία του ζητήματος, το αντικείμενο δηλαδή των μαθηματικών
σε σχέση με την καθολική ανάπτυξη της ανθρώπινης γνώσης, όσο και τις μορφές που
παίρνει μέσα από ένα σύνολο εννοιών και λογιστικών κανόνων.

Συγκεκριμένα, το πρόβλημα
που αντιμετώπιζε τόσο ο Χέγκελ όσο και ο Μαρξ, αφορούσε την εισαγωγή στα
μαθηματικά καινούργιων εννοιών που επέτρεπαν τη μελέτη προτσές και όχι μόνο
στατικών καταστάσεων, κάτι που έγινε αναγκαίο από τις εξελίξεις της φυσικής και
της τεχνολογίας. Η εισαγωγή από τον Ντεκάρτ των μεταβλητών μεγεθών και η
ανάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας καθώς και της έννοιας της συνάρτησης
επέτρεπαν τη μελέτη της κίνησης και οδήγησαν στην επανάσταση που αποτέλεσε η
ίδρυση του νέου κλάδου του απειροστικού λογισμού – διαφορετικού και
ολοκληρωτικού. Ο κλάδος αυτός, βάση όλης της σύγχρονης ανάλυσης, δεν εξετάζει
μόνο τις ποσοτικές μεταβολές διαφόρων μεγεθών αλλά και τα ποιοτικά
χαρακτηριστικά της, τον τρόπο της μεταβολής, το ρυθμό της κλπ. Ήταν η ανάγκη να
προσδιοριστούν με ακρίβεια έννοιες της φυσικής, όπως για παράδειγμα η ταχύτητα
και η επιτάχυνση, που οδήγησε αρχικά τον Νεύτωνα και τον Λάιμπνιτς να
θεμελιώσουν τον απειροστό λογισμό. Η ονομασία του προέρχεται από την κεντρική
καινούργια έννοια που εισήγαγε, το απειροστό μέγεθος, δηλαδή το άπειρα μικρό.

Το απειροστό αυτό μέγεθος
παίζει έναν καθοριστικό ρόλο στον ορισμό και τον υπολογισμό καινούργιων
μαθηματικών εννοιών, όπως είναι η παράγωγος μιας συνάρτησης, το ολοκλήρωμά της
και το διαφορετικό της, εννοιών που εκφράζουν το μέτρο και το ρυθμό της
μεταβολής ενός μεταβλητού μεγέθους. Σε αυτό του τον ρόλο, το απειροστό μέγεθος
παρουσίαζε έναν αντιφατικό χαρακτήρα. Παρόλο που είχε τις ίδιες ιδιότητες με τα
συνηθισμένα μεγέθη των μαθηματικών και υπάκουε στους ίδιους νόμους και κανόνες
στους διάφορους υπολογισμούς, είχε επιπλέον την ξεχωριστή ιδιότητα, στον
καθορισμό των καινούργιων εννοιών που αναφέραμε, να εξαφανίζεται σε ένα κρίσιμο
σημείο, χωρίς όμως να μηδενίζεται.

Από την πρώτη στιγμή, η
αντιφατική φύση του απειροστού μεγέθους έγινε το αντικείμενο των πιο έντονων
προσπαθειών προκειμένου να εξηγηθεί. Οι πρώτες απόπειρες, αρχίζοντας από τον
Νεύτωνα και τον Λάιμπνιτς, έτειναν να εξοβελίσουν την ενοχλητική αντίφαση,
δικαιώνοντας την εξαφάνιση του απειροστού μεγέθους στη βάση της ποσοτικής του
διαφοράς από τα άλλα μεγέθη, λέγοντας δηλαδή ότι ήταν τόσο μικρό, που σε
σύγκριση με τα συνηθισμένα μεγέθη να είναι αμελητέο. Η ερμηνεία αυτή όμως
οδηγούσε σε μιαν άλλη ανεξήγητη αντίφαση. Ενώ η παράλειψη των απειροστών μεγεθών
έδινε στους υπολογισμούς έναν προσεγγιστικό χαρακτήρα, τα αποτελέσματα αυτών των
υπολογισμών ήταν ακριβέστατα. Το λάθος μιας τέτοιας παράλειψης όχι μόνο οδηγούσε
σε σωστά αποτελέσματα, αλλά και ήταν απαραίτητο αν ήταν να υπάρχει καθόλου ένα
αποτέλεσμα. Αυτή η κατάσταση οδήγησε στη μυστικοποίηση του απειροστού και σε
έντονες διαμάχες ανάμεσα στους νεωτεριστές υποστηρικτές του και στους αντίπαλούς
του υπέρμαχους της μαθηματικής «ορθοδοξίας».

Ένα επόμενο
βήμα έγινε με τις προσπάθειες του Όιλερ και του Ντ’ Αλαμπέρ, να «ορθολογικοποιήσουν»
την αντίφαση.

Πορτρέτο του Λ. Όιλερ

Ο δεύτερος, ιδιαίτερα, δεν
έπαιρνε το μυστηριώδες απειροστό μέγεθος σαν αφετηρία του, αλλά το θεωρούσε ένα
συνηθισμένο μέγεθος όπως όλα τα άλλα. Την κρίσιμη στιγμή, όμως, το μέγεθος αυτό
έτεινε να μηδενιστεί, χωρίς να γίνεται ίσο με το μηδέν. Το μηδέν γινόταν μ’
αυτόν τον τρόπο το όριο της μεταβολής του, ενώ τα αποτελέσματα του υπολογισμού
που εμπεριείχε ένα τέτοιο προτσές εμφανίζονταν σαν τα αντίστοιχα όρια ακριβών
μαθηματικών εκφράσεων. Γινόταν μ’ αυτόν τον τρόπο μια συστηματική χρήση της
έννοιας του όριου, μιας έννοιας που απόκτησε αυστηρή μαθηματική θεμελίωση
αργότερα στον 19^ο αιώνα. Ο μυστικιστικός χαρακτήρας του απειροστού
μεγέθους δεν εξαφανίστηκε όμως, αλλά μετατοπίστηκε στην ακόμη πιο ασαφή έννοια
του όριου, που έκφραζε την ίδια αντίφαση με έναν ανεστραμμένο τρόπο: αντί να
έχει κανείς ένα μέγεθος άπειρα μικρό αλλά όχι ίσο με το μηδέν, είχε τώρα ένα
μέγεθος που προσέγγιζε επ’ άπειρο ένα άλλο χωρίς να εξισώνεται μαζί
του.

Ένας τρίτος σταθμός
σημειώνεται με τον Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ, που προσπάθησε να θεμελιώσει τις
καινούργιες έννοιες του απειροστικού λογισμού στις μέθοδες της παλιάς κλασικής
άλγεβρας.

Βασισμένος σε ορισμένες
μαθηματικές σχέσεις που αναπτύχθηκαν από τον Τέιλορ και τον Μακ Λόρεν και που
ίσχυαν για μια κατηγορία συναρτήσεων (αυτές με τις οποίες ασχολείται
αποκλειστικά ο Μαρξ), αναγνώρισε ότι ορισμένοι συντελεστές σ’ αυτές τις σχέσεις
ταυτίζονται με τις καινούργιες έννοιες της παραγώγου πρώτης, δεύτερης, κλπ.,
τάξης της αρχικής συνάρτησης. Ο υπολογισμός επομένως αυτών των παραγώγων
μπορούσε να αναχθεί στις μέθοδες της κλασικής άλγεβρας με τη βοήθεια των τύπων
του Τέιλορ και του Μακ Λόρεν. Αλλά και η αλγεβρική αυτή μέθοδος του Λαγκράνζ δεν
απόφευγε το επίμαχο ζήτημα, γιατί απαιτούσε έμμεσα την έννοια του ορίου.

Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ

Όπως είναι φυσικό, η
επανάσταση στις μέθοδες των μαθηματικών βρήκε την αντανάκλασή της στη φιλοσοφία.
Και μπορεί κανείς να διακρίνει στην εποχή εκείνη τα σπέρματα κατοπινών
φιλοσοφικών τάσεων που αναπτύχθηκαν αργότερα και που ανθούν ως τις μέρες μας. Τα
φιλοσοφικά προβλήματα που αντιμετωπίζουν αυτές οι τάσεις έχουν στο κέντρο τους
το ζήτημα του αντικειμένου των μαθηματικών – αν έχουν κάποιο αντικείμενο, τη
σχέση τους με τις άλλες επιστήμες, τη φύση θεμελιακών εννοιών όπως το άπειρο,
την αντιμετώπιση της αντίφασης όπως αυτή εκφράζεται με πολυποίκιλους τρόπους στα
σύγχρονα μαθηματικά και που για πρώτη φορά ήρθε με τέτοια οξύτητα στο επίκεντρο
με την εισαγωγή του απειροστικού λογισμού την περίοδο που εξετάζουμε.

Έτσι, από τη μια μεριά,
υπάρχουν, οι ρεαλιστές που υποστηρίζουν ότι τα μαθηματικά έχουν για αντικείμενό
τους μορφές της πραγματικότητας, ενώ, από την άλλη, οι φορμαλιστές διακηρύσσουν
ότι πρόκειται μόνο για ένα σύνολο τυπικών κανόνων με μια δική τους εσωτερική
συνέπεια. Υπάρχει ακόμα μια ποικιλία από άλλα ρεύματα, όπως εκείνοι που θεωρούν
την ιστορική εξέλιξη των μαθηματικών σαν το αποτέλεσμα κάποιας ενόρασης, εκείνοι
που τα αναγορεύουν σε σύνολο κανόνων σύνταξης μιας γλώσσας χωρίς περιεχόμενο, ή
εκείνοι που τα αντιμετωπίζουν σαν βολικά συμβατικούς κανόνες, και, τέλος, αυτούς
που θέλουν να τα αναγάγουν σε κλάδο μιας άλλης επιστήμης όπως η φυσική.

Όλα αυτά τα ρεύματα και οι
ποικιλίες τους είναι η έκφραση των περιορισμένων μορφών συνείδησης των
επιστημόνων σχετικά με το ίδιο τους το έργο, ένα έργο που ξεπερνά τους
περιορισμούς τους και έχει μια αντικειμενική σημασία. Η αντίφαση ανάμεσα στα
επιτεύγματα της επιστήμης, που αφορούν το βάθεμα της ανθρώπινης γνώσης για τον
αντικειμενικό κόσμο της Φύσης, και στις διάφορες φιλοσοφικές θέσεις των
επιστημόνων που κυριαρχούνται από την αστική ιδεολογία, μπορεί να ξεπεραστεί
μόνο στη βάση της επιστημονικής κοσμοθεωρίας του διαλεκτικού υλισμού, βασισμένου
πάνω στην ίδια την ανάπτυξη των επιστημών.

Πράγματι, τα ίδια τα
αποτελέσματα των σύγχρονων μαθηματικών που έχουν φτάσει σ’ ένα εξαιρετικά υψηλό
επίπεδο αφαίρεσης και γενίκευσης προσφέρουν τα όπλα για την συντριβή των
παραπάνω ιδεαλιστικών θέσεων. Αυτό όμως δεν μπορεί να γίνει αυτόματα και
αυθόρμητα, με μόνα τα αποτελέσματα των μαθηματικών. Όπως τονίζει ο Λένιν, και
σωστά παραθέτουν οι Κόλμαν και Γιανόφσκαγια στο άρθρο τους, «Ο Χέγκελ και τα
μαθηματικά»: «Οι εξέχοντες φυσικοί επιστήμονες θα είναι το ίδιο όπως μέχρι
τώρα αδύναμοι να βγάλουν τα φιλοσοφικά τους συμπεράσματα και γενικεύσεις. Γιατί
η φυσική επιστήμη προχωρεί τόσο γοργά και γνωρίζει μια τόσο βαθιά επαναστατική
αναταραχή σ’ όλους τους τομείς, που δεν της είναι δυνατό να αποφύγει τα
φιλοσοφικά συμπεράσματα», (Β. Ι. Λένιν: «Για την Σημασία του «Μαχόμενου
Υλισμού».

Γκέοργκ Βίλχελμ Φρήντριχ Χέγκελ

Η ανεπάρκεια και ο μονόπλευρος χαρακτήρας
των αντιλήψεων των επιστημόνων μπορεί να ξεπεραστεί μόνο από τον διαλεκτικό
υλισμό στην σωστή του σχέση με την επιστήμη. Αυτό σημαίνει ότι ο διαλεκτικός
υλισμός δεν έρχεται απλά να δικαιώσει τα συμπεράσματα των επιστημών θεωρώντας
τες μόνο ένα πεδίο επιβεβαίωσης αφηρημένων αρχών, ούτε οικειοποιείται αυτά τα
συμπεράσματα προσπαθώντας να τα υπαγορεύσει στις επιστήμες, αλλά μελετά τη
λογική της ανάπτυξής τους, αποκαλύπτει την εσωτερική τους διαλεκτική σε σχέση
με τη θεωρία της γνώσης για τον κόσμο και μ’ αυτόν τον τρόπο αναπτύσσεται ο
ίδιος.

Είναι απ’ αυτήν την άποψη που ο Μαρξ
εξετάζει στα «Μαθηματικά Χειρόγραφα» τις εξελίξεις των μαθηματικών. Και
ξαναγυρίζει στον Χέγκελ, που στο ιδεαλιστικό του σχήμα ενσωματώνει και
ξεπερνάει με τον πιο ολοκληρωμένο τρόπο τα φιλοσοφικά προβλήματα που έμπαιναν
για να τον ανατρέψει υλιστικά. Και εδώ ακριβώς, στην ανάπτυξη της μεθόδου,
βρίσκεται η σύγχρονη σημασία της μελέτης αυτού του βιβλίου. Δεν μπορεί κανείς
να αγνοήσει τον Χέγκελ, ούτε στο ζήτημα των μαθηματικών. Ο Λένιν, στο ίδιο
άρθρο του, τονίζει ακόμη: «Οι σύγχρονοι φυσικοί επιστήμονες (αν γνωρίζουν
πώς να αναζητούν, και αν εμείς μάθουμε να τους βοηθούμε) θα βρουν στη
χεγκελιανή διαλεκτική, υλιστικά ερμηνευμένη, μια σειρά από απαντήσεις στα
φιλοσοφικά προβλήματα που βάζει η επανάσταση στη φυσική επιστήμη και που
κάνουν τους διανοητικούς θαυμαστές της αστικής μόδας να “σκοντάφτουν” στην
αντίδραση», (Β. Ι. Λένιν: «Για τη Σημασία του Μαχόμενου Υλισμού»).

Ο Χέγκελ έκανε μια λεπτομερέστατη μελέτη
των ζητημάτων που ανέφερα πιο πάνω σε σχέση με τον απειροστικό λογισμό στο
έργο του «Η Επιστήμη της Λογικής». Αντιμετωπίζει τα μαθηματικά σαν μια
αναγκαία στιγμή στην ανάπτυξη του συστήματός του και είχε μια βαθιά γνώση των
προβλημάτων που έθεταν. Όπως αναφέρει χαρακτηριστικά ο Ένγκελς: «Δεν μπορώ
να προχωρήσω χωρίς ένα σχόλιο για τον γέρο-Χέγκελ, που λένε ότι δεν είχε καμιά
βαθιά μαθηματική επιστημονική εκπαίδευση. Ο Χέγκελ ήξερε τόσα πολλά για τα
μαθηματικά, που κανείς από τους μαθητές του δεν ήταν σε θέση να εκδώσει τα
αναρίθμητα μαθηματικά χειρόγραφα ανάμεσα στα χαρτιά του. Ο μόνος άνθρωπος, απ’
όσο ξέρω, που καταλαβαίνει αρκετά από μαθηματικά και φιλοσοφία ώστε να μπορεί
να το κάνει αυτό είναι ο Μαρξ», «Φρ. Ένγκελς: «Γράμμα στον Α.
Λάγκε», 29 του Μάρτη 1865).

Βλαντίμιρ Ιλίτς Λένιν

Ο Χέγκελ εξετάζει τον
απειροστικό λογισμό πρώτα σε μια παρατήρησή του με τίτλο «Η Ειδική Φύση της
Έννοιας του Μαθηματικού Άπειρου» («Η Επιστήμη της Λογικής») έχει εκδοθεί στα
Αγγλικά κι έχουν μεταφραστεί στα Ελληνικά κάποια αποσπάσματα. Για τον Χέγκελ,
λοιπόν, το άπειρο παίζει ένα σημαντικό ρόλο σαν ένα μη ανεπτυγμένο ακόμη σ’ όλη
του την πληρότητα στάδιο της άπειρης αυτοκίνησης της ιδέας που ξεδιπλώνει τους
προσδιορισμούς της. Κριτικάροντας την αντίληψη του «κακού άπειρου», της
ατέλειωτης δηλαδή επανάληψης, στρέφεται ιδιαίτερα ενάντια στην φιλοσοφία του
Καντ. Σύμφωνα με τον τελευταίο, η ανθρώπινη γνώση δεν είναι από την φύση της
περιορισμένη: δεν μπορεί ποτέ να προχωρήσει στο «πράγμα καθεαυτό». Το άπειρο
είναι ένα υποκειμενικό ζήτημα που αφορά την τάση ηθικής αυτοτελείωσης του κάθε
μεμονωμένου ανθρώπου. Ο Χέγκελ καταπολεμάει μια τέτοια υποκειμενική αντίληψη του
άπειρου προτσές, που τα μέρη του δεν είναι αδιάφορα μεταξύ τους αλλά
συνδέονται με μεταβάσεις που τα κάνουν στιγμές αυτού του άπειρου. Γι’ αυτόν,
είναι το άπειρο προτσές του αντικειμενικού πνεύματος που εκδηλώνεται στην
πνευματική δραστηριότητα του κάθε υποκειμένου.

Παρόλο τον ιδεαλισμό του,
όμως, η κριτική του Χέγκελ στον υποκειμενισμό του Καντ είναι βασικά σωστή. Σε
σχέση με το άπειρα μεγάλο ή το άπειρα μικρό, κάνει την εξής παρατήρηση: «Στα
μαθηματικά ένα μέγεθος ορίζεται σαν εκείνο που μπορεί να αυξηθεί ή να μειωθεί.
Γενικά, σαν ένα αδιάφορο όριο. Τώρα, μια και το άπειρα μεγάλο ή μικρό είναι
εκείνο που δεν μπορεί να αυξηθεί ή να μειωθεί, δεν είναι πια στην πραγματικότητα
ένα κβάντουμ σαν τέτοιο… Αλλά είναι ακριβώς η σκέψη ότι το κβάντουμ… έχει
ξεπεραστεί που συνήθως δεν γίνεται και που δημιουργεί τη δυσκολία για την κοινή
σκέψη, γιατί το κβάντουμ στον βαθμό που είναι άπειρο απαιτεί να το σκεφτόμαστε
σαν ξεπερασμένο, σαν κάτι που δεν είναι ένα κβάντουμ, αλλά όμως διατηρεί τον
ποσοτικό του χαρακτήρα», (Χέγκελ: «Η Επιστήμη της Λογικής», οππ, σελ.
243).

Και παρακάτω γράφει ενάντια
στον Καντ (σελ. 243-244): «Ο Καντ είναι αντίθετος στο να θεωρούνται τα άπειρα
όλα σαν ένα μάξιμουμ, σαν ένα συμπληρωμένο ποσό μιας δοσμένης μονάδας. Το
μάξιμουμ ή το μίνιμουμ σαν τέτοιο ακόμα εμφανίζεται σαν ένα κβάντουμ, ένα ποσό.
Μια τέτοια αντίληψη δεν μπορεί να αποφύγει το συμπέρασμα, που βγάζει ο Καντ, που
οδηγεί σ’ ένα μεγαλύτερο ή μικρότερο άπειρο. Και γενικά, ενόσω το άπειρο
παρουσιάζεται σαν ένα κβάντουμ, η διάκριση του μεγαλύτερου ή του μικρότερου
εφαρμόζει ακόμα σ’ αυτό. Αυτή η κριτική όμως δεν ισχύει για την έννοια του
γνήσιου μαθηματικού άπειρου, της άπειρης διαφοράς, γιατί αυτό δεν είναι πια ένα
πεπερασμένο κβάντουμ.

Ιμμάνουελ Καντ

Η αντίληψη του Καντ για το άπειρο από
την άλλη, που το ονομάζει αληθινά υπερβατικό είναι “ότι η διαδοχική σύνθεση
της μονάδας στη μέτρηση ενός κβάντουμ δεν μπορεί ποτέ να συμπληρωθεί”.
Ένα κβάντουμ σαν τέτοιο προϋποτίθεται σαν δοσμένο. Συνθέτοντας τη μονάδα
αυτό υποτίθεται ότι μετατρέπεται σε ένα ποσό, σε ένα συγκεκριμένο κβάντουμ.
Αλλά αυτή η σύνθεση, λέγεται, δεν μπορεί ποτέ να συμπληρωθεί. Είναι προφανές
απ’ αυτό ότι εδώ δεν έχουμε τίποτε άλλο από μια έκφραση της προόδου προς το
άπειρο, μόνο που παρουσιάζεται υπερβατικά, δηλαδή πιο σωστά,
υποκειμενικά και ψυχολογικά. Είναι αλήθεια, καθεαυτό το κβάντουμ υποτίθεται
ότι είναι συμπληρωμένο, αλλά υπερβατικά, δηλαδή στο υποκείμενο που του
δίνει μια σχέση με μια μονάδα, το κβάντουμ προσδιορίζεται μόνο σαν
ασυμπλήρωτο και σαν απλά βαρυμένο με ένα επέκεινα. Εδώ, επομένως, δεν
υπάρχει πρόοδος πέρα από την αντίφαση που περιέχεται στην ποσότητα. Αλλά η
αντίφαση κατανέμεται ανάμεσα στο αντικείμενο και το υποκείμενο, με την
περιοριστικότητα να αποδίδεται στο πρώτο, και στο δεύτερο η πρόοδος προς το
άπειρο, με την πλασματική του έννοια, πέρα από κάθε δοσμένη η
προσδιοριστικότητα».

Στο μακροσκελές αυτό απόσπασμα, ο Χέγκελ
καταρρίπτει την υποκειμενική αντίληψη του Καντ και την εξαφάνιση της αντίφασης
με τον διαμελισμό της στη βάση του αποχωρισμού του αντικειμένου από το
υποκείμενο. Στο ίδιο πνεύμα και εκθέτοντας τη διαλεκτική του υποκείμενου και
του αντικείμενου σαν τη διαλεκτική μιας φυσικής ύπαρξης σε σχέση με την Έννοια
σαν το αντίθετό της, επιδοκιμάζει αλλά και επισημαίνει τους περιορισμούς του
Σπινόζα ενάντια στον Καντ.

Βενέδικτος ντε Σπινόζα

«(Ο


Μπαρούχ Σπινόζα
)
αρχίζει ορίζοντας το άπειρο σαν την απόλυτη
βεβαίωση κάθε είδους φυσικής ύπαρξης,και το πεπερασμένο, αντίθετα, σαν
προσδιοριστικότητα, σαν μια άρνηση… Τώρα, η απόλυτη βεβαίωση μιας ύπαρξης δεν
εξαντλεί, είναι αλήθεια, την έννοια του άπειρου. Αυτή συνεπάγεται ότι το άπειρο
είναι μια βεβαίωση, όχι άμεση, αλλά μόνο όπως αποκαθίσταται από την αντανάκλαση
του άλλου στον εαυτό του, ή σαν άρνηση του αρνητικού. Αλλά για τον
Σπινόζα, η υπόσταση και η απόλυτη ενότητά της έχει τη μορφή μιας αδρανούς
ενότητας, δηλαδή μιας ενότητας που δεν αυτοδιαμεσοποιείται, μιας σταθερότητας ή
ακαμψίας στην οποία η Έννοια της αρνητικής ενότητας του εαυτού, δηλαδή η
υποκειμενικότητα, λείπει ακόμη»,
(Χέγκελ: «Η Επιστήμη της Λογικής», όππ. Σελ. 249-250).

Στη βάση αυτής της
διαλεκτικής ο Χέγκελ αντιμετωπίζει το «μυστηριώδες» απειροστό. Είναι το κβάντουμ
ξεπερασμένο σαν τέτοιο που, όμως, διατηρεί έναν ποσοτικό προσδιορισμό.

«Δεν είναι πια ένα
οποιοδήποτε πεπερασμένο κβάντουμ, μια ποσοτική προσδιοριστικότητα που θα είχε
ένα προσδιορισμένο είναι σαν κβάντουμ. Είναι απλό, και επομένως
μόνο μια στιγμή. Είναι μια ποσοτική προσδιοριστικότητα με ποιοτική
μορφή. Η απειρία του συνίσταται στο ότι είναι μια ποιοτική προσδιοριστικότητα»,
(Χέγκελ: «Η Επιστήμη της Λογικής», όππ. Σελ. 244-245). Με άλλα λόγια η
αντιφατική φύση του απειροστού μεγέθους, η εξαφάνιση και όμως διατήρησή του,
εκφράζουν το ξεπέρασμα του καθαρά ποσοτικού του χαρακτήρα σαν μέγεθος και τη
διατήρησή του σε μια ποιοτική σχέση.

Η αντίφαση που αρχικά
αντιμετώπιζαν οι μαθηματικοί ήταν η αντίφαση ανάμεσα στις καινούργιες έννοιες
και στις παλιές των κλασικών μαθηματικών που βασίζονταν στους κανόνες της
τυπικής λογικής. Η αντίφαση αυτή που αναδυόταν με τη σύγκρουση του καινούργιου
με το παλιό είχε την πηγή της στον ίδιο τον εξωτερικό κόσμο της Φύσης. Ήταν η
αντίφαση της ύλης σε κίνηση. Ακριβώς επειδή με τον απειροστικό λογισμό η κίνηση
εισαγόταν στα μαθηματικά, γι’ αυτό και έμπαινε το πρόβλημα μ’ αυτή τη μορφή. Ο
αντιφατικός χαρακτήρας του καινούργιου, του άπειρα μικρού αλλά όχι μηδενικού,
ήταν η αντανάκλαση της κίνησης της ύλης μέσα από ποσοτικούς και ποιοτικούς
προσδιορισμούς. Αλλά και το ίδιο το παλιό, οι κλασικές άκαμπτες έννοιες,
εμπεριείχαν μέσα τους σε λανθάνουσα μορφή την ίδια αντίφαση εκφρασμένη με έναν
ανεστραμμένο τρόπο, μέσα από τον απόλυτο διαχωρισμό της ταυτότητας και της
διαφοράς, της συνέχειας και της ασυνέχειας, του Είναι και του Μη-Είναι. Στα
πλαίσια της τυπικής λογικής, δυο στάσεις ήταν δυνατές μπροστά στο πρόβλημα: ή το
καινούργιο να αναχθεί στο παλιό με ένα προτσές τυπικής ανάλυσης, ή να γίνει μια
εξίσου τυπική σύνθεσή του με μια εξωτερική αντανάκλαση βασισμένη είτε σε μια
εμπειρική ενόραση είτε σε μια αφηρημένη λογική χωρίς περιεχόμενο. Η πρώτη στάση
ήταν και η ιστορικά προγενέστερη, του Νεύτωνα και του Λάιμπνιτς, που προσπάθησαν
να δώσουν στο απειροστό μια ενδιάμεση θέση ανάμεσα στο είναι και στο τίποτα,
δικαιώνοντας την «εξαφάνισή» του με την ποσοτική του ελαχιστότητα. Η δεύτερη
στάση χαρακτήριζε προσπάθειες να εξηγηθεί το απειροστό με παραδείγματα από την
εμπειρία, από τη φυσική και τη γεωμετρία, όπως και τις προσπάθειες
ορθολογικοποίησης της αντίφασης που έκανε ο Ντ’ Αλαμπέρ και που ως ένα βαθμό
βαραίνουν και τον Λαγκράνζ. Ο Χέγκελ πολεμάει όλες αυτές τις τάσεις και δείχνει
ότι μόνο με τη διαλεκτική λογική μπορεί να επιτευχθεί μια πραγματική σύνθεση,
που θα είναι ταυτόχρονα και ανάλυση και που θα φέρνει στην επιφάνεια την ουσία
του προβλήματος. Αυτό είναι το μεγάλο του επίτευγμα, και έτσι μπορεί να
αποκαλύψει τη ρίζα της αντίφασης, που είναι η κίνηση.

«Μια τέτοια
ενδιάμεση κατάσταση, γράφει, όπως ονομάστηκε, ανάμεσα στο είναι και στο
τίποτα δεν υπάρχει… Η ενότητα του είναι και του τίποτα δεν είναι, φυσικά, μια
κατάσταση… αντίθετα, αυτό το μέσο και η ενότητα, η εξαφάνιση ή εξίσου το
γίγνεσθαι είναι η μόνη αλήθεια τους», (Χέγκελ:
«Η Επιστήμη της Λογικής», όππ. Σελ.
254).

Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ

Ο Μαρξ βρίσκεται σε
πλήρη συμφωνία με το Χέγκελ στα παραπάνω ζητήματα. Η δική του έρευνα στα
«Μαθηματικά Χειρόγραφα» βασίζεται στην αντιμετώπιση της επανάστασης στη
μαθηματική επιστήμη στη βάση της ενότητας της σύνθεσης και της ανάλυσης, του
ιστορικού και του λογικού. Από την αρχή, αναφερόμενος στην απλοϊκή χρήση του
απειροστού, ο Μαρξ θέτει το πρόβλημα ως εξής: «Κάνοντας πρώτα τη διαφόρηση
και μετά αναιρώντας την, επομένως, οδηγεί κυριολεκτικά στο τίποτα. Όλη η
δυσκολία στην κατανόηση της διαφορικής πράξης (όπως με την άρνηση της
άρνησης γενικά) βρίσκεται ακριβώς στο να δει κανείς πως διαφέρει
από μια τέτοια απλή διαδικασία και επομένως οδηγεί σε πραγματικά αποτελέσματα»,
(Κ. Μαρξ: «Μαθηματικά Χειρόγραφα» σελ. 3).

Και ο Μαρξ αφιερώνεται στην
επεξεργασία μιας δικής του μεθόδου, που την ονομάζει αλγεβρική μέθοδο, με σκοπό
να εκφράσει με μαθηματικούς όρους τα προτσές του απειροστικού λογισμού σαν
προτσές άρνησης της άρνησης. Ασχολείται βασικά με τον υπολογισμό της παραγώγου
(δηλ. του ρυθμού μεταβολής) μιας συνάρτησης ψ (ενός μεταβλητού μεγέθους
εξαρτημένου από ένα άλλο χ). Έτσι ορίζει αυτό που ονομάζει προκαταρκτική
παράγωγο, Δψ/Δχ, που εκφράζει τη σχετική πραγματική μεταβολή της συνάρτησης ως
προς το μεταβλητό μέγεθος χ από το οποίο εξαρτάται. Μετά, αναιρώντας τη μεταβολή
του χ, καταλήγει στην παράγωγο
dψ/dχ,
που εκφράζει μια ποιοτική σχέση των δύο μεταβλητών. Σχολιάζοντας αυτή τη μέθοδο
του Μαρξ ο Ένγκελς αναφέρεται στη σχέση της με τη χεγκελιανή μέθοδο, στο γράμμα
του της 10 Αυγούστου 1881 στον Μαρξ, (Κ. Μαρξ: «Μαθηματικά Χειρόγραφα»,
όππ., σελ. XXVII – XXVIII).

Καρλ Μαρξ

Είναι καθαρό ότι το
dψ/dx
μπορεί να είναι η καθαρή έκφραση ενός συμπληρωμένου προτσές μόνο αν το τελευταίο
ίχνος από τα κβάντα χ και ψ έχει εξαφανιστεί, αφήνοντας την έκφραση του
προηγούμενου προτσές της αλλαγής τους χωρίς καμιά ποσότητα… Έτσι ο γερο-Χέγκελ
μάντεψε εντελώς σωστά όταν είπε ότι η διαφόριση είχε σαν βασική της προϋπόθεση
να είναι οι μεταβλητές υψωμένες σε διαφορετικές δυνάμεις… Μόνο όταν (οι
μεταβλητές ψ και χ) αλλάζουν πραγματικά, δηλ. μέσα στη συνάρτηση,
γίνονται πραγματικά μεταβλητές, και μόνο τότε μπορεί η σχέση που είναι ακόμα
κρυμμένη στην αρχική εξίσωση να αποκαλυφθεί – όχι η σχέση των δύο μεγεθών αλλά
της μεταβλητότητάς τους. Η πρώτη παράγωγος Δψ/Δχ δείχνει αυτή τη σχέση όπως
συμβαίνει στην πορεία της πραγματικής αλλαγής, δηλ. σε κάθε δοσμένη
αλλαγή. Η συμπληρωμένη παράγωγος
dψ/dx
την δείχνει αυτή τη σχέση όπως συμβαίνει στην πορεία της πραγματικής αλλαγής,
δηλ. σε κάθε δοσμένη αλλαγή. Η συμπληρωμένη παράγωγος
dψ/dx
την δείχνει στη γενικότητά της, καθαρά, και, επομένως, μπορούμε να πάμε από το
dψ/dx
σε κάθε Δψ/Δχ, ενώ το δεύτερο το ίδιο καλύπτει μόνο την ειδική περίπτωση. Όμως,
για να περάσουμε από την ειδική περίπτωση στη γενική σχέση, η ειδική περίπτωση
πρέπει να ξεπεραστεί (aufgehoben)
σαν τέτοια. Έτσι, αφού η συνάρτηση έχει περάσει μέσα από το προτσές από το χ στο
χ΄με όλες τις συνέπειές του, το χ΄μπορεί να αφεθεί ήσυχα να ξαναγίνει χ. Δεν
είναι πια το παλιό χ, που ήταν μεταβλητό στο όνομα μόνο. Έχει περάσει μέσα από
πραγματική αλλαγή, και το αποτέλεσμα της αλλαγής παραμένει, ακόμα κι αν το
ξεπεράσουμε (aufgehoben)
πάλι».

Μέσα από όλη αυτή την
προσπάθεια του Μαρξ, όμως, αναδύεται πέρα από τη συμφωνία του με τον Χέγκελ στη
χρήση των διαλεκτικών εννοιών και κατηγοριών, και η σύγκρουση με τον ιδεαλισμό
του. Πράγματι, για τον Χέγκελ τα μαθηματικά είναι η επιστήμη της ποσότητας. Σαν
τέτοια, δεν μπορούν να εκφράσουν την Έννοια και η μέθοδος του απειροστικού
λογισμού με τον διαλεκτικό της χαρακτήρα είναι ξένη προς τη φύση τους. Έτσι,
οδηγείται να υψώσει έναν φραγμό ανάμεσα στο παλιό και στο καινούργιο και να δει
τη μετάβαση από το ένα στο άλλο μέσα στο δικό του φιλοσοφικό σύστημα μόνο.
Παρόλο που στη «Λογική» του τονίζει τη σημασία της θεωρητικής σκέψης για την
ανάπτυξη των μεθόδων των μαθηματικών, από τη μια, και, από την άλλη, επισημαίνει
τη σχέση της ανάπτυξής τους με τις απαιτήσεις της πράξης και με τα πεδία
εφαρμογής τους, το κάνει μ’ έναν μονόπλευρο και διαστρεβλωμένο τρόπο. Η στάση
του αυτή πηγάζει αναγκαία από τον ιδεαλισμό του και από την αντίληψή του γενικά
για τη Φύση και τις φυσικές επιστήμες. Γι’ αυτόν η Φύση είναι η αντανάκλαση της
αυτοκίνησης της ιδέας, και έτσι οι φυσικές επιστήμες έχουν σαν καθήκον να
αποκαλύψουν μέσα της τις διαλεκτικές κατηγορίες που έχουν την πηγή τους μέσα
στην αυτοανάπτυξη του δικού του φιλοσοφικού συστήματος. Την αφηρημένη αυτή
αντίληψη του Χέγκελ για τη Φύση είχε ήδη επισημάνει πολύ πιο πριν, στα
«Οικονομικά και Φιλοσοφικά Χειρόγραφα του 1844»,

ΕΔΩ κι

ΕΔΩ ο Μαρξ: «Αλλά η αφαίρεση
που κατανοεί τον εαυτό της σαν αφαίρεση γνωρίζει ότι ο εαυτός της δεν είναι
τίποτα: πρέπει να εγκαταλείψει την αφαίρεση – και έτσι φτάνει σε μια οντότητα
που είναι ακριβώς το αντίθετό της στη Φύση. Η απόλυτη ιδέα, η αφηρημένη
ιδέα… αποφασίζει να εγκαταλείψει την αφαίρεση και να ρίξει μια ματιά στη Φύση
ελεύθερη από αφαίρεση… Ολόκληρη αυτή η μετάβαση από τη λογική στη φυσική
φιλοσοφία δεν είναι τίποτε άλλο από τη μετάβαση… από την αφαίρεση στην
ενόραση… Ο αφηρημένος στοχαστής που έχει αφιερωθεί στην ενόραση, ενορά τη
φύση αφηρημένα… Έτσι, αφήνοντάς την να αναδυθεί από τον εαυτό του έχει
πραγματικά αφήσει να αναδυθεί μόνο αυτή η αφηρημένη Φύση, μόνο η Φύση σαν
οντότητα της σκέψης… Γι’ αυτόν, επομένως, ολόκληρη η Φύση απλά
επαναλαμβάνει τις λογικές αφαιρέσεις με μια αισθητηριακή, εξωτερική μορφή. Για
άλλη μια φορά διαλύει τη Φύση σ’ αυτές τις αφαιρέσεις. Έτσι, η ενόρασή
του της Φύσης είναι μόνο η πράξη της επιβεβαίωσης της αφαίρεσής του από την
ενόραση της Φύσης – είναι μόνο η συνειδητή επανάλειψη απ’ αυτόν του προτσές της
δημιουργίας της αφαίρεσής του», (Καρλ Μαρξ: «Οικονομικά και Φιλοσοφικά
Χειρόγραφα»,σελ. 153-156).

Ακριβώς έτσι βλέπει ο Χέγκελ
τα μαθηματικά, σαν την επιβεβαίωση της αφαίρεσής του. Αυτό τον κάνει να τους
αρνείται τον διαλεκτικό χαρακτήρα και να υπερτονίζει την αισθητηριακή πηγή της
ανάπτυξής τους: «Αυτή η επιστήμη δεν είναι φιλοσοφία, δεν αρχίζει από την
Έννοια, και επομένως το ποιοτικό στοιχείο, στο βαθμό που δεν παίρνεται
λημματικά από την εμπειρία, βρίσκεται έξω από τη σφαίρα της… φαινόταν ότι είναι
ενάντια στην τιμή τους να αναγνωρίσουν την απλή εμπειρία σαν την πηγή και
μοναδική απόδειξη των εμπειρικών προτάσεων», (Χέγκελ: «Η Επιστήμη της Λογικής»,
όππ., σελ. 273).

Εδώ, ενώ ο Χέγκελ σωστά
θέτει το ζήτημα της εμπειρικής καταγωγής της γνώσης, αρνείται στα μαθηματικά τη
δυνατότητα του διαλεκτικού άλματος από το παλιό στο καινούργιο και υιοθετεί μια
ενορατική στάση που συχνά τον φέρνει κοντά στον υποκειμενικό ιδεαλισμό. Έτσι
γράφει: «Το να αντιμετωπίσει κανείς μια εξίσωση των δυνάμεων των μεταβλητών
της σαν μια σχέση των συναρτήσεων αναπτυγμένων με την ύψωση σε δυνάμεις, μπορεί,
πρώτα απ’ όλα, να λεχτεί ότι είναι μόνο ένα ζήτημα επιλογής ή μια δυνατότητα… Η
χρησιμότητα ενός τέτοιου μετασχηματισμού πρέπει να υποδειχτεί από κάποιον
παραπέρα σκοπό ή χρήση. Και ο μόνος λόγος για τον μετασχηματισμό ήταν η
χρησιμότητά του», (Χέγκελ: «Η Επιστήμη της Λογικής», όππ., σελ. 281), κάτι
που θυμίζει την αντίληψη για τα μαθηματικά σαν μιας βολικής σύμβασης.

Η θέση του Μαρξ και του
Ένγκελς ήταν ακριβώς η αντίθετη. Γι’ αυτούς τα μαθηματικά ήταν αντανάκλαση της
αντικειμενικής πραγματικότητας και εκπροσωπούσαν πραγματική γνώση. Το άπειρο γι’
αυτούς δεν είναι η κίνηση της ιδέας αλλά το άπειρο προτσές του κόσμου και της
ανθρώπινης γνώσης στην πράξη της αλλαγής αυτού του κόσμου.

Ο Κόλμαν αναφέρει ότι
σύμφωνα με τον Πολ Λαφάργκ, ο Μαρξ πίστευε ότι «μια επιστήμη δεν είναι
πραγματικά αναπτυγμένη μέχρι να μάθει να χρησιμοποιεί τα μαθηματικά».

Και ο Ένγκελς, σε άμεση
αντίθεση με τον Χέγκελ, γράφει στη «Διαλεκτική της Φύσης»

ΕΔΩ σχετικά με την επανάσταση στα μαθηματικά: «Εδώ οι σταθερές
κατηγορίες διαλύθηκαν, τα μαθηματικά είχαν φτάσει σ’ ένα έδαφος όπου ακόμα και
τέτοιες απλές σχέσεις όπως της απλής αφηρημένης ποσότητας, του κακού άπειρου,
αποκτούσαν μια εντελώς διαλεκτική μορφή και ανάγκαζαν τα μαθηματικά, ενάντια στη
θέλησή τους και χωρίς να το ξέρουν, να γίνουν διαλεκτικά», (Φρ. Ένγκελς: «Η
Διαλεκτική της Φύσης», σελ. 271).

Αλλά ακόμα και τα στοιχειώδη
μαθηματικά που ενσωματώνονται και ξεπερνιούνται στα ανώτερα, περιέχουν
διαλεκτικές στιγμές: «Ο αριθμός είναι η καθαρότερη ποσοτική
προσδιοριστικότητα που ξέρουμε. Αλλά είναι γεμάτος από ποιοτικές διαφορές… Έτσι,
αυτό που λέει ο Χέγκελ για την απουσία σκέψης στην αριθμητική είναι λάθος»,
(Φρ. Ένγκελς: «Αντι-Ντίριγκ», σελ. 258).

Τα μαθηματικά,
παρόλο που είναι «η επιστήμη της ποσότητας», εμπεριέχουν και ποιοτικές
στιγμές. Εξετάζουν στο επίπεδο της υψηλότερης αφαίρεσης τις έννοιες των φυσικών
επιστημών από την άποψη των ποσοτικών τους προσδιορισμών και σχέσεων,
ενσωματώνοντας όμως ταυτόχρονα – όπως έδειξε ο Χέγκελ στην περίπτωση του
απειροστού – όλον τον πλούτο των αλληλοσυνδέσεων και μεταβάσεων. Στην έρευνά
τους αυτή διαθέτουν μια αυτονομία που έγκειται στην αφαίρεση των συγκεκριμένων
προσδιορισμών των εννοιών τους που τους δίνει ένα περιεχόμενο σαν αντανακλάσεων
της αντικειμενικής πραγματικότητας. Έτσι, πχ. Ένας τομέας των μαθηματικών μελετά
σχέσεις και έννοιες που μπορεί να αφορούν τις πιο ποικίλες μορφές της
πραγματικότητας, όπως, την ελαστική παραμόρφωση ενός σώματος και τις ιδιότητες
του καμπύλου χωροχρόνου της θεωρίας της σχετικότητας. (Αλβέρτος
Αϊνστάιν ) Αν αυτή η
αυτονομία των μαθηματικών απολυτοποιηθεί, οδηγεί στον ιδεαλιστικό αποχωρισμό της
υποκειμενικής σκέψης από την αντικειμενική πράξη.
«Για την παγκόσμια σχηματική, τα καθαρά
μαθηματικά βγήκαν από την καθαρή σκέψη – στη Φιλοσοφία της Φύσης είναι κάτι
τελείως εμπειρικό, που έχει παρθεί από τον εξωτερικό κόσμο και έχει εξαχθεί απ’
αυτόν», (Φ. Ένγκελς: «Αντί-Ντίρινγκ», σελ. 72, εκδ. Αναγνωστίδη).

Παρόλο που ο Χέγκελ,
ενάντια στον Καντ, καταπολεμά αυτή τη διάκριση, πέφτει ο ίδιος στο ίδιο σφάλμα
λόγω του ιδεαλισμού του, αρνούμενος, όπως είδαμε, στα μαθηματικά την έννοια. Για
τον διαλεκτικό υλισμό, η αυτονομία των μαθηματικών αφαιρέσεων είναι σχετική, και
έτσι αυτή η επιστήμη συνδέεται αναγκαία όχι μέσω μιας τυπικής αναγωγής ή
εξωτερικής «εφαρμογής», αλλά με μια διαλεκτική μετάβαση με τη θεωρητική
επεξεργασία από τις φυσικές επιστήμες του αντικείμενου της δικής τους έρευνας.

Η αφηρημένη
έννοια ολοκληρώνει το διαλεκτικό προτσές της σκέψης μέσα στην αυτοσχέση ανάμεσα
στο ατομικό και το καθολικό και αντίστροφα. Η θεωρητική έννοια είναι ο
ίδιος ο εξωτερικός κόσμος που δίνει τη θετική πλευρά στην έννοια. Η
πρακτική ώθηση έχει αναδυθεί από την υποκειμενική αυτοώθηση, που είναι σκέψη που
γίνεται αντικειμενική πράξη.

Η διαμετρική αυτή
διαφορά με τον ιδεαλισμό του Χέγκελ, σχετικά με την ουσία των μαθηματικών,
εκφράζεται και με την αντίθεση του Μαρξ στη μέθοδό του αντιμετώπισης των μορφών
που πήραν στην ιστορική τους εξέλιξη. Ο Χέγκελ, αναζητώντας στα μαθηματικά την
επιβεβαίωση του αφηρημένου σχήματός του, απορρίπτει τον Νεύτωνα και τον
Λάιμπνιτς ολοκληρωτικά, αγνοεί τον Ντ’ Αλαμπέρ και επιδοκιμάζει τον Ζοζέφ Λουί
Λαγκράνζ, γιατί αυτός φαίνεται να εισάγει από τα έξω, με την καθαρή λογική, τις
καινούργιες έννοιες. Έτσι, η διαλεκτική του, δέσμια του ιδεαλισμού του,
παραβλέπει τη μετάβαση από τη μια αντίληψη στην άλλη και παραμένει προσκολλημένη
σε ορισμένα επιμέρους συμπεράσματα της επιστήμης, απολυτοποιώντας τα και
δίνοντάς τους μια αιώνια θέση στο σύστημά του. Επιβάλλοντας τις αφαιρέσεις του
πάνω στην πραγματικότητα, συσκοτίζει τους νόμους της, παραβλέπει τα ανοιχτά
ερωτηματικά και αντί να ανοίγει νέους δρόμους καταλήγει να δικαιώνει αυτό που
υπάρχει.

Αντίθετα, ο Μαρξ, με
την προσπάθεια να αναπτύξει τη δική του αλγεβρική μέθοδο, επιδιώκει να δώσει μια
νέα μορφή στο νέο περιεχόμενο. Συγκρίνει και αντιπαραβάλλει τη δική του μέθοδο
με τις άλλες, παλεύοντας να αποκαλύψει τους νόμους της ανάπτυξης της γνώσης για
τον κόσμο που εκπροσωπούν τα μαθηματικά. Κατόρθωσε μ’ αυτόν τον τρόπο να δει τις
καινούργιες έννοιες σαν συμβολικέςεκφράσεις πραγματικών προτσές – κάτι που
γνώρισε τεράστια ανάπτυξη στον 20^ο αιώνα. Και στο τέλος των
«Χειρογράφων» του, στην ιστορική του επισκόπηση των σταθμών του απειροστικού
λογισμού, αποκαλύπτει τη λογική του.

Γκότφριντ Βίλχελμ
Λάιμπνιτς

Αφαιρώντας ο Μαρξ μέσα από
την ιστορική εξέλιξη του απειροστικού λογισμού τη λογική της, αναποδογυρίζει τον
Χέγκελ δείχνοντας τη δική του αυτοδύναμη ανάπτυξη . Σήμερα, πέρα από όλα τα άλλα
άμεσα ή όχι στην πάλη μας ενάντια στην αστική ιδεολογία, ενάντια σε κάθε τάση
επιβολής αφηρημένων εικόνων πάνω στο ζωντανό κόσμο της ιδεολογικής και ταξικής
πάλης, μπορούμε να αποκτήσουμε πολύτιμα όπλα από τη μελέτη αυτής της τελευταίας
επιστροφής του Μαρξ στον Χέγκελ, στα «Μαθηματικά Χειρόγραφα».

http://www.politikokafeneio.com/neo/modules.php?name=News&file=article&sid=9499